Question

【题目】若函数 在（0，2）上存在两个极值点，则a的取值范围是（ ）
A.（﹣∞，﹣ ）
B.（﹣∞，﹣ ）
C.（﹣∞，﹣ ）∪（﹣ ，﹣ ）
D.（﹣e，﹣ ）∪（1，+∞）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：函数f（x）=a（x﹣2）ex+lnx+ 在（0，2）上存在两个极值点，

等价于f′（x）=a（x﹣1）ex+ ﹣ 在（0，2）上有两个零点，

令f′（x）=0，则a（x﹣1）ex+ =0，

即（x﹣1）（aex+ ）=0，

∴x﹣1=0或aex+ =0，

∴x=1满足条件，且aex+ =0（其中x≠1且x∈（0，2））；

∴a=﹣ ，其中x∈（0，1）∪（1，2）；

设t（x）=exx2，其中x∈（0，1）∪（1，2）；

则t′（x）=（x2+2x）ex＞0，

∴函数t（x）是单调增函数，

∴t（x）∈（0，e）∪（e，4e2），

∴a∈（﹣∞，﹣ ）∪（﹣ ，﹣ ）．

故选C．

【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的极值与导数(求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值)．