Question

22、对于函数f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，则称x₀为f（x）的不动点   已知函数f（x）=ax²+（b+1）x+（b-1）（a≠0）
（1）若a=1，b=-2时，求f（x）的不动点；
（2）若对任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）已知中不动点的含义就是方程的根，所以只要转化成解方程即可；
（2）函数f（x）恒有两个相异的不动点，就是说方程有两个不同的实根，利用根的判别式解决．

解答：解：（1）当a=1，b=-2时，f（x）=x²-x-3，
由题意可知x=x²-x-3，得x₁=-1，x₂=3
故当a=1，b=-2时，f（x）的两个不动点为-1，3
（2）∵f（x）=ax²+（b+1）x+（b-1）（a≠0）恒有两个不动点，
∴x=ax²+（b+1）x+（b-1），
即ax²+bx+（b-1）=0恒有两相异实根
∴△=b²-4ab+4a＞0（b∈R）恒成立
于是△′=（4a）²-16a＜0解得0＜a＜1
故当b∈R，f（x）恒有两个相异的不动点时，0＜a＜1．

点评：函数与方程的思想是最重要的一种数学思想，要注意函数，方程与不等式之间的相互联系和转化．