Question

【题目】已知双曲线实轴长为6，一条渐近线方程为4x﹣3y=0．过双曲线的右焦点F作倾斜角为 的直线交双曲线于A、B两点
（1）求双曲线的方程；
（2）求线段AB的中点C到焦点F的距离．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题得2a=6， ，

得a=3，b=4，

可得双曲线方程为

（2）解：由题意可得F（5，0），直线AB的方程为y=x﹣5，

联立 ，

消去y，可得7x2+90x﹣369=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），可得 ，

可得中点C的横坐标为 ，

可得C（﹣ ，﹣ ），

F点横坐标为x=5，可得F（5，0），

即有|CF|= =

【解析】（1）运用双曲线的渐近线方程可得 ，结合条件2a=6，可得a，b，进而得到双曲线的方程；（2）求得直线AB的方程，代入双曲线的方程，消去y，可得x的方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得C的坐标，再由两点的距离公式计算即可得到所求值．