Question

有甲、乙、丙、丁、戊5位同学；
（1）若这5位同学排成一排，则甲不能站在第一位的排法有多少种？
（2）若这5位同学排成一排，则甲乙必须相邻，丙丁必须不相邻的排法有多少种？
（3）若这5位同学参加唱歌、跳舞、下棋、绘画4项比赛，每项比赛至少有一人参加，每名同学必须也只能参加一项比赛，其中甲同学不能参加跳舞比赛，共有多少种参赛方案？

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意，甲是特殊元素，优先分析可得甲可以站其他4个位置，共有4种站法，剩余的4人站其他4个位置，由排列数公式可得其余人的站法数目，由分步计数原理计算可得答案；
（2）根据题意，分3步来分析，先分析甲、乙，用捆绑法视为1个元素，再将其与戊排在一起，排好后有3个空位，最后用插空法将丙丁分别放进其中2个空位中，分别分析每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案；
（3）根据题意，分2种情况讨论，①、甲单独参加一项比赛，②、甲与其他人共同参加比赛，由分步计数原理分别计算每种情况的参赛方案数目，最后由分类计数原理，将两种情况的参赛方案数目相加即可得答案．
解答：解：（1）根据题意，甲不能站在第一位，则甲可以站其他4个位置，共有4种站法，
剩余的4人站其他4个位置，有A₄⁴=24种站法，
则甲不能站在第一位的排法有4×24=96种，
（2）根据题意，甲乙必须相邻，将甲乙视为1个元素，有2种不同的顺序，
将其与戊排在一起，有2种不同的顺序，
排好后有3个空位，将丙丁分别放进其中2个空位中，有A₃²=6种情况，
则甲乙必须相邻，丙丁必须不相邻的排法有2×2×6=24种；
（3）根据题意，若每项比赛至少有一人参加，每名同学必须也只能参加一项比赛，则必须有2人参加同一项比赛，
故分2种情况讨论：
①、甲单独参加一项比赛，由于甲不能参加跳舞比赛，则甲有3种选法，
对于剩余4人，先从中任取2人，有C₄²=6种取法，将4人分为3组，
将3组对应剩余的三项比赛，有A₃³=6种方法，
此时共有3×6×6=108种参赛方案，
②、甲与其他人共同参加比赛，甲只能与其余4人中的1人参加比赛，
由于甲不能参加跳舞比赛，则甲有3种选法，
剩余4人参加4项比赛，有A₄⁴=24种，
此时共有3×24=72种参赛方案，
则共有108+72=180种参赛方案．
点评：本题考查排列、组合的应用，（1）中注意优先分析特殊元素，（2）运用捆绑法与插空法来分析相邻与不相邻问题，（3）注意分类讨论的应用．