【题目】已知函数f(x)=ln x++ax(a是实数),g(x)=
+1.
(1)当a=2时,求函数f(x)在定义域上的最值;
(2)若函数f(x)在[1,+∞)上是单调函数,求a的取值范围;
(3)是否存在正实数a满足:对于任意x1∈[1,2],总存在x2∈[1,2],使得f(x1)=g(x2)成立? 若存在,求出a的取值范围,若不存在,说明理由.
【答案】(1)f(x)在x=处取到最小值,最小值为3-ln 2;无最大值.(2)
∪[0,+∞).(3)不存在
【解析】试题分析:(1)先求函数导数,再求导函数在定义域上零点,最后判断端点值及导函数零点对应函数值的大小,确定最值.(2)即研究不等式恒成立或
恒成立,利用变量分离得
或
,根据二次函数性质可得
,即得
的取值范围;(3)即等价于研究
的值域包含于
值域是否成立,由(2)可得
在[1,2]上是单调递增函数,即
,根据导数易得
在[1,2]上是单调递减函数,即
,因此转化为求
的解,由于无解,所以不存在.
试题解析:解:(1)当a=2时,f(x)=ln x++2x,x∈(0,+∞),
f′(x)=-
+2=
=
,令f′(x)=0,得x=-1或x=
.
当x∈时,f′(x)<0;当x∈
时,f′(x)>0,
所以f(x)在x=处取到最小值,最小值为3-ln 2;无最大值.
(2)f′(x)=-
+a=
,x∈[1,+∞),
显然a≥0时,f′(x)≥0,且不恒等于0,
所以函数f(x)在[1,+∞)上是单调递增函数,符合要求.
当a<0时,令h(x)=ax2+x-1,当x―→+∞时,h(x)―→-∞,
所以函数f(x)在[1,+∞)上只能是单调递减函数.
所以Δ=1+4a≤0或解得a≤-
.
综上:满足条件的a的取值范围是∪[0,+∞).
(3)不存在满足条件的正实数a.由(2)知,a >0时f(x)在[1,+∞)上是单调递增函数,
所以f(x)在[1,2]上是单调递增函数.所以对于任意x1∈[1,2],
f(1) ≤f(x1)≤f(2),即f(x1)∈.
g′(x)=,当x∈[1,2]时,g′(x)≤0,
所以g(x)在[1,2]上是单调递减函数.所以当x2∈[1,2]时,g(x2)∈.
若对于任意x1∈[1,2],总存在x2∈[1,2],使得f(x1)=g(x2)成立,
则,此时a无解.
所以不存在满足条件的正实数a.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知极点与直角坐标系的原点重合,极轴与轴的正半轴重合,圆
的极坐标方程是
,直线
的参数方程是
(
为参数).
(1)若,
为直线
与
轴的交点,
是圆
上一动点,求
的最大值;
(2)若直线被圆
截得的弦长为
,求
的值.
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【题目】已知右焦点为的椭圆
过点
,且椭圆
关于直线
对称的图形过坐标原点.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点且不垂直于
轴的直线与椭圆
交于
,
两点,点
关于
轴的对称点为
,证明:直线
与
轴的交点为
.
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【题目】已知等式:sin25°+cos235°+sin 5°cos 35°= ,
sin215°+cos245°+sin 15°cos 45°=,sin230°+cos260°+sin 30°·cos 60°=
,…,由此归纳出对任意角度θ都成立的一个等式,并予以证明.
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【题目】如图,海上有、
两个小岛相距
,船
将保持观望
岛和
岛所成的视角为
,现从船
上派下一只小艇沿
方向驶至
处进行作业,且
.设
.
(1)用分别表示
和
,并求出
的取值范围;
(2)0晚上小艇在处发出一道强烈的光线照射
岛,
岛至光线
的距离为
,求
的最大值.
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