Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，曲线C1： （φ为参数，实数a＞0），曲线C2： （φ为参数，实数b＞0）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α（ρ≥0，0≤α≤ ）与C1交于O、A两点，与C2交于O、B两点．当α=0时，|OA|=1；当α= 时，|OB|=2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求2|OA|2+|OA||OB|的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由曲线C1： （φ为参数，实数a＞0）， 化为普通方程为（x﹣a）2+y2=a2 ， 展开为：x2+y2﹣2ax=0，
其极坐标方程为ρ2=2aρcosθ，即ρ=2acosθ，由题意可得当θ=0时，|OA|=ρ=1，∴a= ．
曲线C2： （φ为参数，实数b＞0），
化为普通方程为x2+（y﹣b）2=b2 ， 展开可得极坐标方程为ρ=2bsinθ，
由题意可得当 时，|OB|=ρ=2，∴b=1．
（Ⅱ）由（I）可得C1 ， C2的方程分别为ρ=cosθ，ρ=2sinθ．
∴2|OA|2+|OA||OB|=2cos2θ+2sinθcosθ=sin2θ+cos2θ+1= +1，
∵2θ+ ∈ ，∴ +1的最大值为 +1，
当2θ+ = 时，θ= 时取到最大值
【解析】（I）由曲线C1： （φ为参数，实数a＞0），利用cos2φ+sin2φ=1即可化为普通方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式即可得出极坐标方程，进而得出a的值．同理可得b的值．（II）由（I）可得C1 ， C2的方程分别为ρ=cosθ，ρ=2sinθ．可得2|OA|2+|OA||OB|=2cos2θ+2sinθcosθ= +1，利用三角函数的单调性与值域即可得出．