Question

定义在R上的f（x）满足f（x）=f（x+2），当x∈[3，5]时，f（x）=2-|x-4|，α，β是钝角三角形的两锐角，则下列正确的个数是（　　）
①f（sinβ）＜f（cosα）；
②f（sin（-α）＜f（cosβ）；
③f（cosα）＞f（sin（-β））；
④f（sinα）＞f（cosβ）．

• A、4个
• B、3个
• C、2个
• D、1个

Answer 1

分析：本题考查的是函数的单调性、分段函数以及有关三角的综合类问题．在解答时，首先要结合分类讨论研究好当x∈[3，5]时，f（x）的解析式，画出图象后再结合周期性将整个实属集上的图象画出，结合图象即可读出奇偶性又可知道函数在（0，1）上的单调性，进而问题即可获得解答．

解答：解：由题意函数f（x）的解析式为：
f(x)=

-x+6，4≤x≤5 x-2，3≤x＜4

，
又因为在R上的f（x）满足f（x）=f（x+2），
所以函数是以2为周期的函数．
故函数在实数集上的图象如图，
由图象可知：函数为偶函数且在（0，1）上为减函数．
所以：∵α+β＜

π

2

，
∴α＜

π

2

-β或β＜

π

2

-α
∴sinα＜sin(

π

2

-β) =cosβ，同理sinβ＜cosα
所以：f（sinα）＞f（cosβ）、f（sinβ）＞f（cosα）
又知函数为偶函数，∴f（sin（-α））f（-sinα）=f（sinα），f（sin（-β））=f（sinβ）
所以①②③不正确．
故选D．

点评：本题考查的是函数的单调性、分段函数以及有关三角的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了分类讨论的思想、数形结合的思想以及函数单调性知识和周期性知识的灵活应用．值得同学们体会反思．