Question

已知函数（a＞0，c∈R）为奇函数，当x＞0时，f（x）的最小值为2．
（I）求函数的解析式
（Ⅱ）若a+b=1，a、b∈R⁺，求证：
（Ⅲ） 若g（x）=f（x）-x，n∈N^*且n≥2，求证：．

Answer 1

解：（I）由函数（a＞0，c∈R）为奇函数，
可得f（-x）==-f（x）=-
∴-x+c=-x-c
∴c=0
∴
再由x＞0时，≥，
∵f（x）的最小值为2，得2=2，?a=1，
故（x≠0）…（4分）
（Ⅱ）欲证原不等式成立，
需证：．
因为 a+b=1，即证：，
再由a+b=1，a、b∈R⁺，，故，
令t=ab，考察函数y=t+，它在区间（0，]上是单调减函数，当t=时，y=，
∴，
从而原不等式成立．…（8分）
（学生用其它方法参照给分）
（Ⅲ），需证：
一方面：

…（10分）
另一方面：
综上．
…（14分）
分析：（I）先根据函数为奇函数即f（-x）=-f（x）求得c=0，进而根据均值不等式求得函数f（x）的最小值的表达式，结果为2求得a，进而求得函数f（x）的解析式；
（II）利用分析法进行证明．欲证原不等式成立，只需证：．因为 a+b=1，即证：，令t=ab，考察函数y=t+，结合此函数在区间（0，]上是单调减函数即得；
（III）用分析法证明．分析得出只需证：，下面从而左右两个方面进行证明即可．
点评：本题主要考查了函数的奇偶性的应用，均值不等式的应用，不等式的证明及函数的单调性．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．