Question

8．已知函数f（x）=x-2lnx．
（1）求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的极值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；
（2）求出导数为0的x的值，求出单调区间，由极值的定义，即可得到所求极值．

解答 解：（1）依题意得，f（x）的定义域为（0，+∞），$f'（x）=1-\frac{2}{x}$．
所以，曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线斜率k=f'（1）=-1．
又因为f（1）=1-2ln1=1，
所以所求切线方程为y-1=-（x-1），即x+y-2=0．
（2）令f'（x）=0，得x=2．
列表：

x	（0，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	-		+
f（x）	↘	极小值	↗

由上表可知，f（x）有极小值f（2）=2-2ln2，无极大值．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查运算能力，属于基础题．