Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，且a_n=2a_n-1+2ⁿ（≥2，且n∈N^*）
（1）求证：数列{

an

2n

}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设数列{a_n}的前n项之和S_n，求证：

Sn

2n

＞2n-3．

Answer 1

分析：（1）利用a_n=2a_n-1+2ⁿ（≥2，且n∈N^*），两边同除以2ⁿ，即可证明数列{

an

2n

}是等差数列；
（2）求出数列{

an

2n

}的通项，即可求数列{a_n}的通项公式；
（3）先错位相减求和，再利用放缩法，即可证得结论．

解答：（1）证明：∵a_n=2a_n-1+2ⁿ（≥2，且n∈N^*）
∴

an

2n

=

an-1

2n-1

+1
∴

an

2n

-

an-1

2n-1

=1
∴数列{

an

2n

}是以

1

2

为首项，1为公差的等差数列；
（2）解：由（1）得

an

2n

=

1

2

+(n-1)•1=n-

1

2

∴a_n=(n-

1

2

)•2n；
（3）解：∵S_n=

1

2

•21+

3

2

•22+…+(n-

1

2

)•2n
∴2S_n=

1

2

•22+

3

2

•23+…+(n-

1

2

)•2n+1
两式相减可得-S_n=1+2²+2³+…+2ⁿ-(n-

1

2

)•2n+1=（3-2n）•2ⁿ-3
∴S_n=（2n-3）•2ⁿ+3＞（2n-3）•2ⁿ
∴

Sn

2n

＞2n-3．

点评：本题考查数列的通项公式及前n项和，考查不等式的证明，考查构造法的运用，确定数列的通项，正确求和是关键．