Question

设a＞0，方程xlnx+（a-x）ln（a-x）=0有解，则a的取值范围是（　　）

A．（0，1]

B．（0，2]

C．（1，2]

D．（1，3]

Answer 1

分析：由题意构造函数f（x）=xlnx+（a-x）ln（a-x），且求出0＜x＜a，再求出f′（x）和f″（x），判断出f″（x）恒大于0，判断出f′（x）在定义域上的单调性，再求出f′（x）=0对应的x值，再求出f（x）的单调区间，求出函数f（x）的最小值，根据最小值令g（x）=

x

2

lnx，再求出此函数的导数及单调性，判断出函数值的符号，再由变化趋势求出a的范围．

解答：解：由题意设f（x）=xlnx+（a-x）ln（a-x），且0＜x＜a，
则原题可转化为f（x）=0在（0，a）有解，求a的范围，
∴f′（x）=1+lnx-1-ln（a-x）=lnx-ln（a-x）
则f″（x）=

1

x

-

1

x-a

=

-a

x(x-a)

，
由题意得0＜x＜a，又∵a＞0，∴f″（x）恒大于0，
∴f′（x）在（0，a）为增函数，
令f′（x）=0，得x=

a

2

，则0＜

a

2

＜a，
∴f′（x）在（0，

a

2

）恒小于零，在（

a

2

，a）恒大于零，
则f（x）在（0，

a

2

）递减，在（

a

2

，a）递增
要使f（x）在（0，a）有解，
则f（x）的最小值：f（

a

2

）=

a

2

ln

a

2

+（a-

a

2

）ln（a-

a

2

）=aln（

a

2

）≤0，
设g（x）=

x

2

lnx，x＞0，
且g′(x)=

1

2

lnx+

1

2

=0，得x=

1

e

，
∴g（x）在（0，

1

e

）递减，在（

1

e

，+∞）递增，
∵当x趋向于零时，g（x）=

x

2

lnx＜0，最小值g（

1

e

）＜0，
且g（1）=

1

2

ln1=0，此时a=2，
又由a＞0，解得a的范围为（0，2]，
故选B．

点评：本题考查了方程的根与函数零点的转化，以及导数与函数单调性、最值的关系，此题较难涉及了二次求导问题，以及恒成立的转化问题，构造函数法，可作为压轴题．