Question

已知A，B，C三点的坐标分别是A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），其中

π

2

＜α＜

3π

2

．
（1）若|

AC

|=|

BC

|，求α的值；
（2）若

AC

•

BC

=-1，求

2sin2α+2sinαcosα

1+tanα

的值．

Answer 1

分析：（1）由题意求得

AC

和

BC

的坐标，再根据|

AC

|=|

BC

|，化简可得tanα=1．再由

π

2

＜α＜

3π

2

，可得 α 的值．
（2）由

AC

•

BC

=-1，求得cosα+sinα=

2

3

，平方可得 2sinαcosα=-

5

9

，再根据 

2sin2α+2sinαcosα

1+tanα

=2sinαcosα 求得结果．

解答：解：（1）由题意可得，

AC

=（ cosα-3，sinα），

BC

=（cosα，sinα-3），
若|

AC

|=|

BC

|，则有 （cosα-3）²+sin²α=cos²α+（sinα-3）²，化简可得 sinα=cosα，∴tanα=1．
再由

π

2

＜α＜

3π

2

，可得 α=

5π

4

．
（2）由（1）可得

AC

•

BC

=（ cosα-3，sinα）•（cosα，sinα-3）=cosα（cosα-3）+sinα（sinα-3）=1-3（cosα+sinα）=-1，
∴cosα+sinα=

2

3

，平方可得 2sinαcosα=-

5

9

．
∴

2sin2α+2sinαcosα

1+tanα

=

2sinα(sinα+cosα)

sinα+cosα cosα

=2sinαcosα=-

5

9

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，根据三角函数的值求角，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．