Question

【题目】已知定义在R上的函数f（x），满足 ，且f（3）=f（1）﹣1．
（1）求实数k的值；
（2）若函数g（x）=f（x）+f（﹣x）（﹣2≤x≤2），求g（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可得f（1）﹣1=1+2﹣1=2，

f（3）=f（﹣1+4）=f（﹣1）=2，

所以可得

（2）解：由 得：

，

∴ ，

当0＜x＜2时，1＜x+1＜3，

所以

在（x+1）2=4即x=1处取得最小值，

所以g（x）在（0，1）处单调递减，

在[1，2）上单调递增，

，

当x→2时， ，

所以g（x）在（0，2）上的值域为[5，6）．

当﹣2＜x＜0时，1＜1﹣x＜3，

∴ ；

当（1﹣x）2=4，即x=﹣1时取得最小值；

当x→﹣2时， ；

当x→0时， ，

∴g（x）在（﹣2，0）上的值域为[5，6）．

综上所述，g（x）的值域为

【解析】（1）由已知中函数f（x），满足 ，且f（3）=f（1）﹣1，构造方程，解得实数k的值；（2）函数 ，分类讨论各段上函数值的范围，可得答案．