Question

10．已知函数$f（x）={log_a}\frac{x-2}{x+2}$（a＞0且a≠1）
（1）求f（x）的定义域并判定f（x）的奇偶性；
（2）当a＞1时，判定f（x）的单调性并用定义法证明；
（3）是否存在实数a，使得f（x）的定义域为[m，n]时，值域为[1+log_an，1+log_am]？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{x-2}{x+2}$＞0，可求出f（x）的定义域，利用定义法能求出f（x）在定义域上为奇函数．
（2）f（x）在（-∞，-2）单调递增，f（x）在（2，+∞）单调递增，利用定义法能进行证明．
（3）假设存在这样的实数a，问题转化为关于x的方程ax²+（2a-1）x+2=0在（2，+∞）上有两个不同的实数根，由此能求出结果．

解答 解：（1）由$\frac{x-2}{x+2}$＞0，可得x＜-2或x＞2，
∴f（x）的定义域为（-∞，-2）∪（2，+∞）…（1分）
∵$f（{-x}）={log_a}\frac{-x-2}{-x+2}={log_a}\frac{x+2}{x-2}=-{log_a}\frac{x-2}{x+2}=-f（x）$，
∴f（x）在定义域上为奇函数…（2分）
（2）f（x）在（-∞，-2）单调递增，
f（x）在（2，+∞）单调递增，
由（1）知只需研究f（x）在（2，+∞）单调性，
任取x₁，x₂且2＜x₁＜x₂，
$\begin{array}{l}∴f（{x_1}）-f（{x_2}）={log_a}\frac{{{x_1}-2}}{{{x_1}+2}}-{log_a}\frac{{{x_2}-2}}{{{x_2}+2}}\\={log_a}\frac{{（{x_1}-2）（{x_2}+2）}}{{（{x_1}+2）（{x_2}-2）}}\end{array}$
由（x₁-2）（x₂+2）-（x₁+2）（x₂-2）=4（x₁-x₂）＜0，
∴$0＜\frac{{（{x_1}-2）（{x_2}+2）}}{{（{x_1}+2）（{x_2}-2）}}＜1$，又a＞1，
则f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）在（2，+∞）单调递增
由（1）知f（x）在（-∞，-2）单调递增，
综上：f（x）在（-∞，-2）单调递增，f（x）在（2，+∞）单调递增…（6分）
（3）假设存在这样的实数a，
$则由m＜n及lo{g_a}m+1和{log_a}\frac{m-2}{m+2}有意义可知2＜m＜n$，
又log_an+1＜log_am+1，即log_an＜log_am，
∴0＜a＜1．
由（2）知：f（x）在（2，+∞）单调递减，
∴f（x）在（m，n）单调递减，
∴$\left\{\begin{array}{l}f（m）={log_a}\frac{m-2}{m+2}=lo{g_a}m+1\\ f（n）={log_a}\frac{n-2}{n+2}={log_a}n+1\end{array}\right.$，
即m，n是方程$lo{g}_{a}\frac{x-2}{x+2}$=log_ax+1的两个实根，
于是问题转化为关于x的方程ax²+（2a-1）x+2=0在（2，+∞）上有两个不同的实数根，…（8分）
令g（x）=ax²+（2a-1）x+2，
则有$\left\{\begin{array}{l}△={（{2a-1}）^2}-8a＞0\\-\frac{2a-1}{2a}＞2\\ g（2）=8a＞0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a＞\frac{{3+2\sqrt{2}}}{2}或a＜\frac{{3-2\sqrt{2}}}{2}\\ a＜\frac{1}{6}\\ a＞0\end{array}\right.$，
∴$0＜a＜\frac{{3-2\sqrt{2}}}{2}又0＜a＜1$，
$故存在这样的实数a∈（{0，\frac{{3-2\sqrt{2}}}{2}}）符合题意$…（10分）

点评 本题考查函数的定义域及奇偶性的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．