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下列命题中,其中正确命题的个数为(  )
(1)PA⊥矩形ABCD所在平面,则P,B两点间的距离等于P到BC的距离;
(2)若a∥b,a?α,b?α,则a与b的距离等于a与α的距离;
(3)直线a,b是异面直线,a?α,b∥α则a,b之间的距离等于b与α之间的距离;
(4)直线a,b是异面直线,a?α,b?β,且α∥β,则a,b之间的距离等于α与β之间的距离.
分析:(1)根据线面垂直的性质可知PA⊥BC,而BC⊥AB,AB∩BC=B,,满足线面垂直的判定定理,得到BC⊥面PAB,而PB?面PAB,则PB⊥BC,从而说明P,B两点间的距离等于P到BC的距离;
(2)可以在正方体中进行列举,如正方体中A1B1∥CD,A1B1?面ABCD,CD?面ABCD,此时A1B1与CD的距离不等于A1B1与面ABCD的距离;
(3)由异面直线公垂线与平面α垂直可判定真假;
(4)由异面直线公垂线与两个平面垂直可以判断真假.
解答:解:(1)∵PA⊥矩形ABCD所在平面,BC?平面ABCD,
∴PA⊥BC,而BC⊥AB,AB∩BC=B,
∴BC⊥面PAB,而PB?面PAB
则PB⊥BC,即P,B两点间的距离等于P到BC的距离,故(1)正确;
(2)如正方体中A1B1∥CD,A1B1?面ABCD,CD?面ABCD,此时A1B1与CD的距离不等于A1B1与面ABCD的距离,故(2)不正确;
(3)直线a,b是异面直线,a?α,b∥α则将b移到与a相交得到的平面即为α,根据异面直线的公垂线段长即为异面直线的距离可知a,b之间的距离等于b与α之间的距离,故(3)正确;
(4)两个异面直线之间的公垂线段与两个平面都垂直,故两个异面直线之间的距离即两个平面之间的距离,故(4)正确.
故有3个正确命题
故选C.
点评:本题主要考查空间中两个平面之间的线面距、点面距、面面距,重点考查对概念的理解与空间想象能力,属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知直线m,l,平面α,β,且m⊥α,l?β.下列命题中,其中正确命题的序号是
①④
①④

①若α∥β,则m⊥l;       ②若α⊥β,则m∥l;
③若m⊥l,则α∥β;       ④若m∥l,则α⊥β.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知直线m,l,平面α,β,且m⊥α,l?β.下列命题中,其中正确命题的个数是
 

①若α∥β,则m⊥l;
②若α⊥β,则m∥l;
③若m⊥l,则α∥β;
④若m∥l,α⊥β.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

下列命题中,其中正确命题的个数为(  )
(1)PA⊥矩形ABCD所在平面,则P,B两点间的距离等于P到BC的距离;
(2)若ab,a?α,b?α,则a与b的距离等于a与α的距离;
(3)直线a,b是异面直线,a?α,bα则a,b之间的距离等于b与α之间的距离;
(4)直线a,b是异面直线,a?α,b?β,且αβ,则a,b之间的距离等于α与β之间的距离.
A.一个B.二个C.三个D.四个

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科目:高中数学 来源:2008-2009学年河南省豫东三校高二(下)期中数学试卷(解析版) 题型:选择题

下列命题中,其中正确命题的个数为( )
(1)PA⊥矩形ABCD所在平面,则P,B两点间的距离等于P到BC的距离;
(2)若a∥b,a?α,b?α,则a与b的距离等于a与α的距离;
(3)直线a,b是异面直线,a?α,b∥α则a,b之间的距离等于b与α之间的距离;
(4)直线a,b是异面直线,a?α,b?β,且α∥β,则a,b之间的距离等于α与β之间的距离.
A.一个
B.二个
C.三个
D.四个

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