Question

15．已知A是抛物线y²=4x上的一点，以点A和点B（2，0）为直径的圆C交直线x=1于M，N两点．直线l与AB平行，且直线l交抛物线于P，Q两点．
（Ⅰ）求线段MN的长；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{OP}$$•\overrightarrow{OQ}$=-3，且直线PQ与圆C相交所得弦长与|MN|相等，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）C的方程为（x-2）（x-$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$+y（y-y₀）=0，令x=1，得y²-y₀y+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$-1=0，利用韦达定理及弦长公式求线段MN的长；
（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+n，代入抛物线方程，利用$\overrightarrow{OP}$$•\overrightarrow{OQ}$=-3，求出n，直线PQ与圆C相交所得弦长与|MN|相等，求出m，即可求直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）设A（$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$，y₀），则C的方程为（x-2）（x-$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$+y（y-y₀）=0，
令x=1，得y²-y₀y+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$-1=0，
∴|MN|=|y₁-y₂|=$\sqrt{{{y}_{0}}^{2}-4（\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}-1）}$=2；
（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+n，代入抛物线方程得y²-4my-4n=0，
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4n
∵$\overrightarrow{OP}$$•\overrightarrow{OQ}$=-3，
∴x₁x₂+y₁y₂=$\frac{（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}{16}$+y₁y₂=-3，
∴n²-4n+3=0，
∴n=1或3，此时B（2，0）到直线l的距离d=$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$．
由题意，圆心C到直线l的距离等于到直线x=1的距离，
∴$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{8}$=$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$．
∵m=$\frac{\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}-2}{{y}_{0}}$，
∴${{y}_{0}}^{2}•\frac{{{y}_{0}}^{4}+64}{16}$=64，
∴${{y}_{0}}^{2}$=8，
∴m=0，
∴直线l的方程为x=3，
综上，直线l的方程为x=1或x=3．

点评 本题考查直线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．