Question

已知函数f（x）=x²+3x|x-a|，其中a∈R．
（1）当a=

1

3

时，方程f（x）=b恰有三个根，求实数b的取值范围；
（2）当a=

1

3

时，是否存在区间[m，n]，使得函数的定义域与值域均为[m，n]，若存在请求出所有可能的区间[m，n]，若不存在请说明理由；
（3）若a＞0，函数f（x）在区间（m，n）上既有最大值又有最小值，请分别求出m，n的取值范围（用a表示）．

Answer 1

分析：（1）利用绝对值的几何意义，分类讨论，确定函数的单调性，从而要使方程f（x）=b恰有三个根，只须g（

1

4

）＞0，g（

1

3

）＜0，从而可求实数b的取值范围；
（2）分类讨论，确定函数的单调性，求出函数的最值，即可求得结论；
（3）要使函数在（m，n）上既有最大值又有最小值，则最小值在x=a处取得，最大值在x=

3

4

a处取得．

解答：解：（1）设g（x）=4x²-x-b（x≥

1

3

）
令g′（x）=8x-1=0，可得x=

1

8

，
∵

1

8

＜

1

3

，∴g（x）在[

1

3

，+∞）上单调增；
g（x）=-2x²+x-b（x＜

1

3

）
令g′（x）=-4x+1=0，可得x=

1

4

，
∵

1

4

＜

1

3

，∴g（x）在（-∞，

1

4

）上单调增；g（x）在[

1

4

，

1

3

）上单调减；
要使方程f（x）=b恰有三个根，只须g（

1

4

）=-2（

1

4

）²+

1

4

-b=

1

8

-b＞0，∴b＜

1

8

g（

1

3

）=-2（

1

3

）²+

1

3

-b=

1

9

-b＜0，∴b＞

1

9

∴

1

9

＜b＜

1

8

；
（2）当m＜n≤

1

4

时，f（x）在区间[m，n]上单调递增，所以

f(m)=m f(n)=n

，所以m=n，矛盾；
当m≤

1

4

≤n＜

1

3

时，n=f（

1

4

）=

1

8

，矛盾；
当m≤

1

4

＜

1

3

≤n时，n≥

1

3

＞

1

8

＞f（m），故f（x）在区间[m，n]上的最大值在[

1

3

，n]上取到
∵f（x）在[

1

3

，n]上单调递增，∴n=f（n），∴n=

1

2

又m≤f(m)≤

1

8

，故m≤f(m)＜f(

1

6

)=f(

1

3

)=

1

9

，所以f（x）在区间[m，n]上的最小值在[m，

1

4

]上取到．
又f（x）在区间[-∞，

1

4

]上单调递增，故m=f（m），∴m=0
故[m，n]=[0，

1

2

]
当

1

4

≤m＜n≤

1

3

时，由x∈[

1

4

，

1

3

]，

1

9

≤f(x)≤

1

8

知，

1

9

≤m，n≤

1

8

，矛盾．
当

1

4

≤m≤

1

3

＜n时，f（x）在区间[

1

4

，

1

3

]上单调递减，[

1

3

，n]上单调递增．故m=f(

1

3

)=

1

9

，矛盾
当

1

3

≤m＜n时，f（x）在区间[m，n]上单调递增，故

f(m)=m f(n)=n

，得m=n=

1

2

，矛盾．
综上所述

m=0 n= 1 2

，即存在区间[0，

1

2

]满足条件．
（3）当a＞0时，函数的图象如右，
要使得函数f（x）在开区间（m，n）内既有最大值又有最小值，则最小值一定在x=a处取得，最大值在x=

3

4

a处取得；
f（a）=a²，在区间（-∞，a）内，函数值为a²时x=

1

2

a，所以

1

2

a≤m＜

3

4

a；
f(

3

4

a)=

9

8

a2，而在区间（a，+∞）内函数值为

9

8

a2时x=

3+3 3

8

a，所以a＜n≤

3+3 3

8

a．…..（12分）

点评：本题考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．