Question

如果不等式x²+mx+n≤0的解集为 A=[1，4]，B=[a-1，a]．
（1）求实数m，n的值；
（2）设p：x∈A，q：x∈B，若q是p的充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法,必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系即可得出．
（2）q是p的充分条件，q⇒p，即B是A的子集，列出不等式组解得即可

解答： 解：（1）∵不等式x²+mx+n≤0的解集为 A=[1，4]，
∴1，4是方程x²+mx+n=0的两个根，…（2分）
由韦达定理得1+4=-m，1×4=n    …（4分）
∴实数m，n的值分别为-5，4    …（6分）
（2）∵q是p的充分条件，
∴q⇒p，即B是A的子集，…（8分）
即 

a-1≥1 a≤4

，…（11分）
解得2≤a≤4．
所以实数a的取值范围为[2，4]．…（12分）

点评：本题考查了一元二次不等式的解法和充分条件，属于基础题