Question

3．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线x+y-1=0交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．

Answer 1

分析 由题意设出椭圆方程$\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1$，联立直线方程与椭圆方程，然后结合中点坐标公式及根与系数的关系列出OM的斜率，由此求出a²得答案．

解答 解：由题意，设椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1$，
联立$\left\{\begin{array}{l}x+y-1=0\\ \frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1\end{array}\right.$，得（1+a）²x²-2a²x=0，
∴${x_M}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=\frac{{1+{a^2}}}{a^2}$，${y_M}=1-{x_M}=\frac{1}{{1+{a^2}}}$，
由${k_{OM}}=\frac{y_M}{x_M}=\frac{1}{a^2}=\frac{1}{4}$，解得a²=4，
∴椭圆的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，训练了直线与椭圆位置关系的应用，考查了直线的斜率，是基础题．