Question

如图，已知PA是圆O的切线，切点为A，PO交圆O于B、C两点，PA=

3

，PB=1，则∠C=

30°

．

Answer 1

分析：由切割线定理，算出PC=3．由BC是圆O的直径，得∠PAC=90°+∠C，△PAC中，根据正弦定理列出关于∠C的等式，结合三角函数的公式，解之即可得到∠C的度数．

解答：解：∵PA切圆O于A点，PBC是圆O的割线
∴PA²=PB•PC，可得（

3

）²=1×PC，得PC=3
∵点O在BC上，即BC是圆O的直径，∴∠ABC=90°，
由弦切角定理，得∠PAB=∠C，∠PAC=90°+∠C
∴△PAC中，根据正弦定理，得

PA

sinC

=

PC

sin∠PAC

即

3

sinC

=

3

sin(90°+C)

，整理得tanC=

3

3

∵∠C是锐角，∴∠C=30°．
故答案为：30°

点评：本题在圆中已知切线和过直径的割线，求圆周角的大小，着重考查了解三角形和圆中的比例线段等知识，属于中档题．