Question

18．已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面边长为1的正四棱柱，O₁是A₁C₁和B₁D₁的交点．
（1）若正四棱柱的高与底面边长相等，求二面角A-B₁D₁-A₁的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）若点C到平面AB₁D₁的距离为$\frac{4}{3}$，求正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高．

Answer 1

分析 （1）由题意，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为1的正方体，连结AO₁，则∠AO₁A₁是二面角A-B₁D₁-A₁的平面角，由此能求出二面角A-B₁D₁-A₁的大小．
（2）设正四棱柱的高为h，以A₁为原点，A₁B₁为x轴，A₁D₁为y轴，A₁A为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高．

解答 解：（1）由题意，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为1的正方体，…（1分）
连结AO₁，因为AB₁=AD₁，O₁为B₁D₁的中点，所以AO₁⊥B₁D₁，…（2分）
又A₁C₁⊥B₁D₁，所以∠AO₁A₁是二面角A-B₁D₁-A₁的平面角．  …（3分）
因为AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，所以AA₁⊥A₁C₁，…（4分）
所以，$tan∠A{O_1}{A_1}=\frac{{A{A_1}}}{{{A_1}{O_1}}}=\sqrt{2}$．　　　…（5分）
所以，二面角A-B₁D₁-A₁的大小为$arctan\sqrt{2}$．…（6分）
（2）设正四棱柱的高为h．
如图以A₁为原点，A₁B₁为x轴，A₁D₁为y轴，A₁A为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，h），B₁（1，0，0），D₁（0，1，0），C（1，1，h），
$\overrightarrow{A{B_1}}=（1\;，\;0\;，\;-h）$，$\overrightarrow{A{D_1}}=（0\;，\;1\;，\;-h）$，$\overrightarrow{AC}=（1\;，\;1\;，\;0）$．　　…（2分）
设平面AB₁D₁一个法向量为$\vec n=（x\;，\;y\;，\;z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}\vec n⊥\overrightarrow{A{B_1}}\;\\ \vec n⊥\overrightarrow{A{D_1}}\;\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}\vec n•\overrightarrow{A{B_1}}=0\;\\ \vec n•\overrightarrow{A{D_1}}=0\;\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{x-hz=0}\\{y-hz=0}\end{array}\right.$，
取x-hx=h，得$\vec n=（h\;，\;h\;，\;1）$，…（5分）
所以，点C以平面AB₁D₁的距离为$d=\frac{{|\vec n•\overrightarrow{AC}|}}{|\vec n|}=\frac{2h}{{\sqrt{2{h^2}+1}}}=\frac{4}{3}$，
解得h=2．…（7分）
所以，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高为2．　　…（8分）

点评 本题考查二面角的大小的求法，考查正四棱柱的高的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．