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2.已知抛物线y2=6x上的两个动点A和B,F是焦点,满足AF+BF=7,线段AB的垂直平分线与x轴交于点C,求点C的坐标.

分析 设抛物线上两个动点A、B的坐标,由|AF|+BF|=7,结合焦半径可得AB的中点的坐标,把A、B的坐标代入抛物线方程,用点差法求得AB的斜率,则AB的垂直平分线方程可求,取y=0可得C点坐标.

解答 解:设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y12=6x1,y22=6x2
两式作差得:(y1-y2)(y1+y2)=6(x1-x2),
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{6}{{y}_{1}+{y}_{2}}$,即AB的斜率为$\frac{6}{{y}_{1}+{y}_{2}}$,
由|AF|+BF|=7,抛物线的准线为x=-$\frac{3}{2}$,
由抛物线的定义可得x1+x2+3=7,
∴x1+x2=4.
∴AB的中点坐标为(2,$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$),
∴AB的垂直平分线方程为y-$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=-$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{6}$(x-2),
取y=0,得x=5.
∴点C的坐标为(5,0),

点评 本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用,直线与曲线联立,根据方程的根与系数的关系求解,是处理这类问题的最为常用的方法,但圆锥曲线的特点是计算量比较大,要求考生具备较强的运算推理的能力.

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