Question

10．如图，在平面四边形ABCD中，AB=5$\sqrt{2}$，∠CBD=75°，∠ABD=30°，∠CAB=45°，∠CAD=60°．
（I）求AC的长；
（Ⅱ）求CD的长．

Answer 1

分析 （1）由题意在△BAC中由正弦定理可得AC；
（2）在△BAD中由正弦定理可得BD，由和差角公式可得cos75°，由余弦定理可得CD．

解答 解：（1）由题意可得∠ACB=180°-（75°+30°+45°）=30°，
在△BAC中，由正弦定理可得AC=$\frac{sin105°}{sin30°}×5\sqrt{2}$=5（$\sqrt{3}$+1）；
（2）在△BAD中，由正弦定理可得BD=$\frac{5\sqrt{2}×\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{5（\sqrt{6}+\sqrt{2}）}{2}$，
又cos75°=cos（30°+45°）=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
∴由余弦定理可得CD²=BC²+BD²-2BC•BDcos∠CBD
=100+[$\frac{5（\sqrt{6}+\sqrt{2}）}{2}$]²-2×10×$\frac{5（\sqrt{6}+\sqrt{2}）}{2}$×$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$=100+25$\sqrt{3}$，
∴CD=5$\sqrt{4+\sqrt{3}}$．

点评 本题考查三角形中的几何计算，涉及正余弦定理和和差角的三角函数公式，属中档题．