分析 (1)利用二倍角的正弦公式、余弦公式变形,两角差的正弦公式化简解析式,由三角函数的周期公式求出
f(x)的最小正周期,由正弦函数的减区间求出f(x)的递减区间;
(2)由三角函数图象平移法则求出g(x),由x的范围求出$2x-\frac{π}{3}$的范围,由正弦函数的图象与性质求出
f(x)在[0,$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值.
解答 解:(1)由题意得,
$f(x)=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-1-\frac{1+cos2x}{2}=sin(2x-\frac{π}{6})-\frac{3}{2}$,
由T=$\frac{2π}{2}$=π得,所以f(x)的最小正周期是π,
由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ(k∈Z)$得,
$\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{5π}{6}+kπ(k∈Z)$,
∴f(x)的单调递减区间是$[\frac{π}{3}+kπ,\frac{5π}{6}+kπ](k∈Z)$;
(2)由题意和(1)得,$g(x)=sin(2x-\frac{π}{3})-\frac{3}{2}$,
∵$0≤x≤\frac{π}{2}$,∴$-\frac{π}{3}≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{2π}{3}$,
∴当$2x-\frac{π}{3}=-\frac{π}{3}$,即x=0时,g(x)取到最小值是$g{(x)}_{min}=-\frac{3+\sqrt{3}}{2}$,
当$2x-\frac{π}{3}=\frac{π}{2}$即x=$\frac{5π}{12}$时,g(x)取到最大值$g{(x)}_{max}=-\frac{1}{2}$.
点评 本题考查正弦函数的图象与性质,三角函数的周期公式,三角函数图象平移变换法则,以及三角恒等变换中的公式,考查整体思想,化简、变形能力.
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\sqrt{13}$+1 | B. | $\sqrt{13}$-1 | C. | 2$\sqrt{3}$+1 | D. | 2$\sqrt{3}$-1 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 2015×2016+3 | B. | 2015×2016+2 | C. | 2015×2016+1 | D. | 2015×2016 |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | e-$\frac{1}{2}$ | B. | 1 | C. | $\sqrt{e}$-$\frac{3}{8}$ | D. | $\frac{3}{4}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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