Question

（本小题满分14分）已知椭圆的方程为：，其焦点在轴上，离心率.

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）设动点满足，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为，求证：为定值.

（3）在（2）的条件下，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

解：（1）由，，解得，

故椭圆的标准方程为.　　　　　　　  　……………………3分

（2）设,

则由，得，

即，

∵点M，N在椭圆上，∴ ……6分

设分别为直线的斜率，由题意知，

，∴，　　　　……………………8分

故

           ，

即（定值）　　　　　　　　　　　　……………………10分

（3）由（2）知点是椭圆上的点，

∵，

∴该椭圆的左右焦点满足为定值，

因此存在两个定点，使得为定值。　　　…………………14分

 

【解析】略