Question

选修4-5：不等式选讲
（1）求不等式|x-3|-2|x-1|≥-1的解集；
（2）已知a，b∈R⁺，a+b=1，求证：(a+

1

a

)2+(b+

1

b

)2≥

25

2

．

Answer 1

分析：（1）分类讨论，去掉绝对值符号即可得出：当x≥3时，原不等式可化为（x-3）-2（x-1）≥-1；
当x≤1时，原不等式可化为-（x-3）+2（x-1）≥-1；
当1＜x＜3时，原不等式可化为-（x-3）-2（x-1）≥-1；
（2）由于a，b∈R，且a+b=1，利用基本不等式可得ab≤(

a+b

2

)2=

1

4

，
进而得到(a+

1

a

)2+(b+

1

b

)2=4+(a2+b2)+(

1

a2

+

1

b2

)=4+[(a+b)2-2ab]+

(a+b)2-2ab

a2b2

=4+(1-2ab)+

1-2ab

a2b2

≥4+(1-2×

1

4

)+

1-2× 1 4

( 1 4 )2

=

25

2

．

解答：（1）解：当x≥3时，原不等式可化为（x-3）-2（x-1）≥-1，化为x≤0，应舍去；
当x≤1时，原不等式可化为-（x-3）+2（x-1）≥-1，化为x≥-2，此时不等式的解集为[-2，1]；
当1＜x＜3时，原不等式可化为-（x-3）-2（x-1）≥-1，化为x≤2，此时不等式的解集为（1，2]；
综上可知原不等式的解集为：[-2，2]．
（2）证明：∵a，b∈R，且a+b=1，∴ab≤(

a+b

2

)2=

1

4

，
∴(a+

1

a

)2+(b+

1

b

)2=4+(a2+b2)+(

1

a2

+

1

b2

)=4+[(a+b)2-2ab]+

(a+b)2-2ab

a2b2

=4+(1-2ab)+

1-2ab

a2b2

≥4+(1-2×

1

4

)+

1-2× 1 4

( 1 4 )2

=

25

2

，当且仅当a=b=

1

2

时不等式取等号．

点评：本题考查了含绝对值符号的不等式的解法、基本不等式的性质、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于难题．