Question

在平面直角坐标系xoy中，过定点C（p，0）作直线m与抛物线y²=2px（p＞0）相交于A、B两点．
（I）设N（-p，0），求

NA

•

NB

的最小值；
（II）是否存在垂直于x轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据抛物线的方程得到焦点的坐标，设出直线与抛物线的两个交点和直线方程，是直线的方程与抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系，表达出两个向量的数量积．
（Ⅱ）对于存在性问题，可先假设存在，即假设满足条件的直线l存在，其方程为x=a，再利用弦长公式，求出a，p的关系式，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：解：（I）依题意，可设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为：x=my+p
由

x=my+p y2=2px

?y²-2pmy-2p²=0（2分）∴

y1+y2=2pm y1•y2=-2p2

∴ NA • NB =(x1+p，y1)•(x2+p，y2)=(x1+p)(x2+p)+y1y2  =(my1+2p)(my2+2p)+y1y2=(m2+1)y1y2+2pm(y1+y2)+4p2 =2p2m2+2p2

当m=0时

NA

•

NB

的最小值为2p²．（7分）
（II）假设满足条件的直线l存在，其方程为x=a，AC的中点为o′，l与以AC为直径的圆
相交于P，Q，PQ中点为H，则o′H⊥PQ，o′的坐标为(

x1+p

2

，

y1

2

)．∵|o′P|=

1

2

|AC|=

1

2

(x1-p)2+y12

=

1

2

x12+p2

（9分）

∴|PH|2=|o′P|2-|o′H|2= 1 4 (x12+p2)- 1 4 (2a-x1-p)2 =(a- 1 2 p)x1+a(p-a)

∴|PQ|2=(2|PH|)2=4[(a-

1

2

p)x1+a(p-a)]（13分）
令a-

1

2

p=0得a=

1

2

p．此时|PQ|=p为定值．故满足条件的直线l存在，
其方程为x=

1

2

p（15分）

点评：本题考查弦长的计算和直线与抛物线位置关系的综合运用，解题时要注意方程思想和弦长公式的合理运用，注意合理地进行等价转化．