Question

设函数f（x）=m（cosx+sinx）²+1-2sin²x，x∈R，且y=f(x)的图象经过点(

π

4

，2)
（1）求实数m的值；
（2）求函数f（x）的最小值及此时x值的集合．

Answer 1

分析：（1）利用三角恒等变换可求得f（x）=m（1+sin2x）+cos2x，再由f（

π

4

）=2即可求得实数m的值；
（2）由（1）知f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1，利用正弦函数的性质即可求得函数f（x）的最小值及此时x值的集合．

解答：解：（1）∵f（x）=m（1+sin2x）+cos2x的图象经过点（

π

4

，2），
∴f（

π

4

）=m（1+sin

π

2

）+cos

π

2

=2m=2，解得m=1．
（2）由（1）得f（x）=1+sin2x+cos2x=

2

sin（2x+

π

4

）+1，
∴当sin（2x+

π

4

）=-1时，f（x）的最小值为1-

2

；
由sin（2x+

π

4

）=-1，得2x+

π

4

=2kπ-

π

2

，
解得x=kπ-

3π

8

（k∈Z），
此时x值的集合为{x|x=kπ-

3π

8

，k∈Z}．

点评：本题考查三角恒等变换，着重考查辅助角公式的应用与正弦函数的性质，属于中档题．