Question

6．已知等差数列{a_n}的前三项分别为λ，6，3λ，前n项和为S_n，且S_k=165．
（1）求λ及k的值；
（2）设${b}_{n}=\frac{3}{2{S}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
（2）利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）∵λ，6，3λ成等差数列，∴λ+3λ=12，∴λ=3．
∴等差数列{a_n}的首项为3，公差d=3，
前n项和公式S_n=$3n+\frac{n（n-1）}{2}×3$=$\frac{3{n}^{2}+3n}{2}$，
由S_k=165，可得3k+$\frac{3k（k-1）}{2}$=165，解得k=10．
（2）∵b_n=$\frac{3}{2{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．