Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足Sn=n-an(n∈N*)．
（Ⅰ）求证：数列{a_n-1}是等比数列；
（Ⅱ）设b_n=（2-n）（a_n-1），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由Sn=n-an(n∈N*)，得S_n+1=n+1-a_n+1，两式相减得到2a_n+1-a_n=1，由此能证明数列{a_n-1}是等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）推导出an=1-

1

2n

，从而得到bn=

n-2

2n

，由此利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 证明：（Ⅰ）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足Sn=n-an(n∈N*)①，
∴S_n+1=n+1-a_n+1，②
②-①，得：2a_n+1-a_n=1，
∴an+1-1=

1

2

(an-1)，
又∵a1=

1

2

，∴a1-1=

1

2

(an-1)，
又∵a1=

1

2

，∴a1-1=-

1

2

，
∴数列{a_n-1}是以-

1

2

为首项，以

1

2

为公比的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an-1=-

1

2n

，
∴an=1-

1

2n

，∴bn=

n-2

2n

，
Tn=

-1

2

+

0

22

+

1

23

+

2

24

+

3

25

+…+

n-2

2n

，

1

2

Tn=

-1

22

+

0

23

+

1

24

+

2

25

+

3

26

+…+

n-2

2n+1

，
上述两式相减，得：

1

2

Tn=-

1

2

+（

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n

）-

n-2

2n+1

=-

n

2n+1

，
∴T_n=-

n

2n

．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．