Question

【题目】如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB的延长线上，N在AD的延长线上，且对角线MN过点C，已知AB=3米，AD=2米，记矩形AMPN的面积为S平方米．

（1）按下列要求建立函数关系；
（i）设AN=x米，将S表示为x的函数；
（ii）设∠BMC=θ（rad），将S表示为θ的函数．
（2）请你选用（1）中的一个函数关系，求出S的最小值，并求出S取得最小值时AN的长度．

Answer 1

【答案】
（1）解：（i）∵Rt△CDN～Rt△MBC，∴ = ，

∴ ，∴BM= ，

由于 ，则AM=

∴S=ANAM= ，（x＞2）

（ii）在Rt△MBC中，tanθ= ，∴MB= ，∴AM=3+ ，

在Rt△CDN中，tanθ= ，∴DN=3tanθ，∴AN=2+3tanθ，

∴S=AMAN=（3+ ）（2+3tanθ），其中0＜θ＜

（2）解：选择（ii）中关系式

∵S=AMAN=（3+ ）（2+3tanθ），（0＜θ＜ ）；

∴S=12+9tanθ+ ≥12+2 =24，

当且仅当9tanθ= ，即tanθ= 时，取等号，此时AN=4

答：当AN的长度为4米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为24m2．

【解析】（1）求出AN，AM，即可建立函数关系；（i）设AN=x米，先求出AM的长，即可表示出矩形AMPN的面积；（ii）由∠BMC=θ（rad），可以依次表示出AM与AN的长度，即可表示出S关于θ的函数表达式；（2）选择（ii）中的函数关系式，化简，由基本不等式即可求出最值．
【考点精析】利用基本不等式在最值问题中的应用对题目进行判断即可得到答案，需要熟知用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”．