Question

8．设a、b、c∈R₊，求证：$\frac{{a}^{2}}{b+c}$+$\frac{{b}^{2}}{c+a}$+$\frac{{c}^{2}}{a+b}$≥$\frac{a+b+c}{2}$．

Answer 1

分析 利用基本不等式，可得$\frac{{a}^{2}}{b+c}$+$\frac{1}{4}$（b+c）≥a，$\frac{{b}^{2}}{c+a}$+$\frac{1}{4}$（c+a）≥b，$\frac{{c}^{2}}{a+b}$+$\frac{1}{4}$（a+b）≥c，相加，即可得出结论．

解答 证明：∵a、b、c∈R₊，
∴$\frac{{a}^{2}}{b+c}$+$\frac{1}{4}$（b+c）≥a，$\frac{{b}^{2}}{c+a}$+$\frac{1}{4}$（c+a）≥b，$\frac{{c}^{2}}{a+b}$+$\frac{1}{4}$（a+b）≥c，
∴$\frac{{a}^{2}}{b+c}$+$\frac{1}{4}$（b+c）+$\frac{{b}^{2}}{c+a}$+$\frac{1}{4}$（c+a）+$\frac{{c}^{2}}{a+b}$+$\frac{1}{4}$（a+b）≥a+b+c，
∴$\frac{{a}^{2}}{b+c}$+$\frac{{b}^{2}}{c+a}$+$\frac{{c}^{2}}{a+b}$≥$\frac{a+b+c}{2}$．

点评 本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．