Question

6．已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且∠C=$\frac{2π}{3}$，c=$\sqrt{3}$．
（1）若sinA=$\frac{1}{4}$，求cosB的值；
（2）求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用同角的平方关系，结合诱导公式和两角和的余弦公式计算即可得到；
（2）由正弦定理可得a=2sinA，b=2sinB，再由两角和差的正弦公式，结合余弦函数的性质，计算即可得到所求范围．

解答 解：（1）若sinA=$\frac{1}{4}$，A为锐角，
则cosA=$\sqrt{1-\frac{1}{16}}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
cosB=-cos（A+C）=-cos（A+$\frac{2π}{3}$）
=-（-$\frac{1}{2}$cosA-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA）
=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{15}}{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{1}{4}$=$\frac{\sqrt{15}+\sqrt{3}}{8}$；
（2）由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$=$\frac{\sqrt{3}}{sin\frac{2π}{3}}$=2，
即有a=2sinA，b=2sinB，
设A=$\frac{π}{6}$-α，B=$\frac{π}{6}$+α，-$\frac{π}{6}$＜α＜$\frac{π}{6}$，
即有a+b=2[sin（$\frac{π}{6}$-α）+sin（$\frac{π}{6}$+α）]
=4sin$\frac{π}{6}$cosα=2cosα，
由-$\frac{π}{6}$＜α＜$\frac{π}{6}$，则cosα∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
即有周长a+b+c的范围是（2$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$+2]．

点评 本题考查正弦定理的运用，两角和差的正弦、余弦公式和余弦函数的性质的运用，考查运算能力，属于中档题．