【题目】已知直线l1:2x﹣y+2=0与l2:x+y+4=0.
(1)若一条光线从l1与l2的交点射出,与x轴交于点P(3,0),且经x轴反射,求反射光线所在直线的方程;
(2)若直线l经过点P(3,0),且它夹在直线l1与l2之间的线段恰被点P平分,求直线l的方程.
【答案】(1)2x+5y﹣6=0.(2)22x+y﹣66=0.
【解析】
(1)求出两直线的交点坐标,并写出这点关于的对称点,直线就是反射光线所在直线;
(2)直线为l与l1的交点A(x1,y1),与l2交点B(x2,y2),由中点坐标公式得,即B(6﹣x1,﹣y1),把坐标代入各自所在直线方程可求得,从而得直线方程.
(1)由解得
∴直线l1与l2的交点为(﹣2,﹣2),
据题意反射光线应过(﹣2,﹣2)关于x轴的对称点(﹣2,2)和点P,
则,
所以反射光线所在直线方程为:2x+5y﹣6=0.
(2)设直线为l与l1的交点A(x1,y1),与l2交点B(x2,y2),
则有,于是有,即B(6﹣x1,﹣y1),
分别代入直线方程,
所以
解得,.
所以直线l的方程为:22x+y﹣66=0.
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【题目】已知,,动点满足.设动点的轨迹为.
(1)求动点的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形;
(2)求动点与定点连线的斜率的最小值;
(3)设直线交轨迹于两点,是否存在以线段为直径的圆经过?若存在,求出实数的值;若不存在,说明理由.
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【题目】已知抛物线: 的焦点与椭圆: 的一个焦点重合,点在抛物线上,过焦点的直线交抛物线于、两点.
(Ⅰ)求抛物线的方程以及的值;
(Ⅱ)记抛物线的准线与轴交于点,试问是否存在常数,使得且都成立?若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】设是两条不同的直线,是两个不同的平面,有下列正确命题的序号是________.
(1)若m∥,n∥,则m∥n, (2)若则
(3)若,且,则; (4)若,,则
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【题目】已知椭圆的焦距为,且C与y轴交于两点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设P点是椭圆C上的一个动点且在y轴的右侧,直线PA,PB与直线交于M,N两点.若以MN为直径的圆与x轴交于E,F两点,求P点横坐标的取值范围.
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【题目】在矩形ABCD中,对角线AC分别与AB,AD所成的角为α,β,则sin2α+sin2β=1,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,对角线AC1与棱AB,AD,AA1所成的角分别为α1,α2,α3,与平面AC,平面AB1,平面AD1所成的角分别为β1,β2,β3,则下列说法正确的是( )
①sin2α1+sin2α2+sin2α3=1 ②sin2α1+sin2α2+sin2α3=2
③cos2α1+cos2α2+cos2α3=1 ④sin2β1+sin2β2+sin2β3=1
A. ①③B. ②③C. ①③④D. ②③④
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【题目】某年级组织学生参加了某项学术能力测试,为了解参加测试学生的成绩情况,从中随机抽取20名学生的测试成绩作为样本,规定成绩大于或等于80分的为优秀,否则为不优秀.统计结果如图:
(1)求的值和样本的平均数;
(2)从该样本成绩优秀的学生中任选两名,求这两名学生的成绩至少有一个落在内的概率.
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