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设函数f(x)=(x-1)2+blnx.
(1)若f(x)在x=2时取得极小值,求b的值;
(2)若函数f(x)在定义城上是单调函数,求b的取值范围.
【答案】分析:(1)因为函数f(x)=(x-1)2+blnx,对其进行求导,已知(x)在x=2时取得极小值,可得f′(2)=0,从而求解;
(2)函数f(x)=(x-1)2+blnx,f(x)在定义城上是单调函数,则f′(x)≥0,或f′(x)≤0恒成立,分两种情况进行讨论,从而求解;
解答:解:(1)∵函数f(x)=(x-1)2+blnx,
∴f′(x)=2(x-1)+
∵(x)在x=2时取得极小值,
∴f(2)=0,2×1+=0,∴b=-4;
(2)f(x)在定义域上是单调函数,则f′(x)≥0,或f′(x)≤0恒成立,
①∵x>0,当f′(x)≥0,有b≥2x-2x2=-2(x-2+,b≥
②当f′(x)≤0,b≤2x-2x3对任意x>0成立,不存在,
故满足条件的b的取值范围为[,+∞).
点评:此题主要考查函数在某点取得极值的条件,利用导数研究函数的单调性,此题是高考的热点问题,是一道中档题.
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(1)若函数y=f(x)图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为
2
,求a的值;
(2)关于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整数恰有3个,求实数a的取值范围;
(3)对于函数f(x)与g(x)定义域上的任意实数x,若存在常数k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,则称直线y=kx+m为函数f(x)与g(x)的“分界线”.设a=
2
2
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f(-
3
4
) <f(
15
2
)

②当x∈[-1,0]时f(x)=x3+4x+3;
③f(x)(x≥0)的图象与x轴的交点的横坐标由小到大构成一个无穷等差数列;
④关于x的方程f(x)=|x|在x∈[-3,4]上有7个不同的根.
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2
,求a的值;
(2)关于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整数恰有3个,求实数a的取值范围;
(3)对于函数f(x)与g(x)定义域上的任意实数x,若存在常数k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,则称直线y=kx+m为函数f(x)与g(x)的“分界线”.设a=
2
2
,b=e,试探究f(x)与g(x)是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方程;若不存在,请说明理由.

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