Question

已知{a_n}是公差不为零的等差数列，S_n是数列{a_n}的前n项和．
（I）若a₂=1，S₅=20，求数列{a_n}的通项公式；
（II）设{b_n}是等比数列，满足b₁=a₁²，b₂=a₂²，b₃=a₃²，求数列{b_n}公比q的值．

Answer 1

分析：（I）设{a_n}是公差d，由a₂=1，S₅=20建立方程求出公差与首项，代入等差数列的通项公式即可．
（II）{b_n}是等比数列，满足b₁=a₁²，b₂=a₂²，b₃=a₃²，由等比数列的性质得到方程（a₁+d）⁴=a₁×（a₁+2d）²，解出等差数列的首项与公差的关系，根据等比数列的性质求公比．

解答：解：（I）设{a_n}是公差d由题意

a1+d=1 5a1+ 5×4 2 d=20

，∴

a1=-2 d=3

，∴a_n=3n-5
（II）∵{b_n}是等比数列，满足b₁=a₁²，b₂=a₂²，b₃=a₃²，∴（a₁+d）⁴=a₁×（a₁+2d）²，
∴（a₁+d）²=a₁×（a₁+2d），（a₁+d）²=-a₁×（a₁+2d）
∴d=0（舍）或d²+4a₁d+2a₁²=0∴d=（-2±

2

）a₁
①当d=（-2-

2

）a₁时，q=

a22

a12

=(1+

2

)2=3+2

2

②当d=（-2+

2

）a₁时，q=

a22

a12

=(1-

2

)2=3-2

2

综上，q=3+2

2

或q=3-2

2

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查用等差数列的通项公式建立方程求通项公式以及用等比数列的性质建立方程寻求数列满足的关系求等比数列的公比．根据题意正确转化是解题的关键．