Question

【题目】如图，已知DP⊥y轴，点D为垂足，点M在线段DP的延长线上，且满足|DP|=|PM|，当点P在圆x2+y2=3上运动时
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）直线l：x=my+3（m≠0）交曲线C于A、B两点，设点B关于x轴的对称点为B1（点B1与点A不重合），且直线B1A与x轴交于点E． ①证明：点E是定点；
②△EAB的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：设M（x，y），则P（ x，y），代入x2+y2=3，可得 x2+y2=3，即
（2）①证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线与椭圆C方程联立，

化简并整理得（m2+4）y2+6my﹣3=0，

∴y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣ ，

由题设知B1（x2，﹣y2），∴直线AB1的方程为y﹣y1= （x﹣x1），

令y=0得x= =4，

∴点E（4，0）…（7分）

②△EAB的面积S= |PF||y1﹣y2|=2 =2 ≤1

当且仅当 ，即m= 时等号成立，

∴△PMN的面积存在最大值，最大值为1

【解析】（1）利用代入法，即可求点M的轨迹C的方程；（2）①由题意，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），可得直线AB1的方程，令y=0，可得点E的坐标为（4，0）． ②利用△EAB的面积为S= |PF||y1﹣y2|=2 ，化简，利用基本不等式的性质即可得出．