分析 (1)求出函数的导数,得到函数的单调区间,从而求出函数的最大值和最小值,求出函数的值域即可;
(2)求函数的定义域,利用函数单调性和导数之间的关系即可求出函数的单调区间;
(3)问题转化为h(x)=2ax2+1在(1,2)有解,根据二次函数的性质求出a的范围即可.
解答 解:(1)当a=-$\frac{1}{2}$时,f(x)=-$\frac{1}{2}$x2+lnx,(x>0),
f′(x)=-x+$\frac{1}{x}$=$\frac{1{-x}^{2}}{x}$,
令f′(x)>0,解得:0<x<1,令f′(x)<0,解得:x>1,
∴f(x)在[$\frac{1}{e}$,1)递增,在(1,e]递减,
而f($\frac{1}{e}$)=-1-$\frac{1}{{2e}^{2}}$,f(1)=-$\frac{1}{2}$,f(e)=1-$\frac{1}{2}$e2<f($\frac{1}{e}$),
故函数的值域是[1-$\frac{1}{2}$e2,-$\frac{1}{2}$].
(2)要使函数有意义,则x>0,
函数的导数f′(x)=$\frac{1}{x}$+2ax=$\frac{2{ax}^{2}+1}{x}$,
若a≥0,则f'(x)>0,此时函数单调递增,即增区间为(0,+∞).
若a<0,由f′(x)>0得x>$\frac{1}{\sqrt{-2a}}$,
由f′(x)<0得0<x<$\frac{1}{\sqrt{-2a}}$,即此时函数的减区间为(0,$\frac{1}{\sqrt{-2a}}$),增区间为($\frac{1}{\sqrt{-2a}}$,+∞),
综上:若a≥0,函数的增区间为(0,+∞).
若a<0,函数的减区间为(0,$\frac{1}{\sqrt{-2a}}$),增区间为($\frac{1}{\sqrt{-2a}}$,+∞).
(3)f′(x)=$\frac{1}{x}$+2ax=$\frac{2{ax}^{2}+1}{x}$,(x>0),
若函数f(x)在区间(1,2)上不单调,
则h(x)=2ax2+1在(1,2)有解,
∴$\left\{\begin{array}{l}{a<0}\\{1<\sqrt{-\frac{1}{2a}}<2}\end{array}\right.$,解得:-$\frac{1}{2}$<a<-$\frac{1}{8}$.
点评 本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用、分类讨论思想有解二次函数的性质,是一道中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 两个点 | B. | 一个椭圆 | C. | 一条线段 | D. | 两条直线 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 2 | B. | $\sqrt{5}$ | C. | $\frac{{4\sqrt{5}}}{3}$ | D. | $\frac{{4\sqrt{10}}}{5}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 若ac2>bc2,则a>b | B. | 若a<b<0,则a2<b2 | ||
C. | 若a>b>0,则$\frac{1}{a}$<$\frac{1}{b}$ | D. | 若a<b<0,c>d>0,则ac<bd |
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