Question

已知抛物线y²=8x的准线与双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)相交于A，B两点，点F是抛物线的焦点，若双曲线的一条渐近线方程是y=2

2

x，且△FAB是直角三角形，则双曲线的标准方程是（　　）

• A、

  x2

  16

  -

  y2

  2

  =1
• B、x2-

  y2

  8

  =1
• C、

  x2

  2

  -

  y2

  16

  =1
• D、

  x2

  8

  -y2=1

Answer 1

分析：先根据抛物线方程求得准线方程，代入双曲线方程求得y，根据渐近线方程求出a与b的关系，根据双曲线的对称性可知△FAB为等腰直角三角形，进而可求得A或B的纵坐标为4，进而求得a和b，则双曲线的标准方程可得．

解答：解：依题意知抛物线的准线x=-2．代入双曲线方程得
y=±

b 4-a2

a

．双曲线的一条渐近线方程是y=2

2

x，
∴

b

a

=2

2

则不妨设A（-2，2 

2

4-a2

），F（2，0）
∵△FAB是等腰直角三角形，
∴2 

2

4-a2

=4，解得：a=

2

，b=4
∴c²=a²+b²=2+16=20，
∴双曲线的标准方程是

x2

2

-

y2

16

=1
故选C

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，解题的关键是通过双曲线的对称性质判断出△FAB为等腰直角三角形，属于基础题．