Question

已知圆C：x²＋y²＋x－6y＋m＝0与直线l：x＋2y－3＝0.
(1)若直线l与圆C没有公共点，求m的取值范围；
(2)若直线l与圆C相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．

Answer 1

（1）（2）m＝3

(1)将圆的方程配方，
得²＋(y－3)²＝，
故有＞0，解得m＜.
将直线l的方程与圆C的方程组成方程组，得
消去y，得x²＋²＋x－6×＋m＝0，
整理，得5x²＋10x＋4m－27＝0，  ①
∵直线l与圆C没有公共点，∴方程①无解，故有Δ＝10²－4×5(4m－27)＜0，解得m＞8.∴m的取值范围是.
(2)设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，
由OP⊥OQ，得＝0，即x₁x₂＋y₁y₂＝0，      ②
由①及根与系数的关系，得
x₁＋x₂＝－2，x₁·x₂＝，      ③
又∵P、Q在直线x＋2y－3＝0上，
∴y₁·y₂＝·＝ [9－3(x₁＋x₂)＋x₁·x₂]，
将③代入上式，得y₁·y₂＝，   ④
将③④代入②得x₁·x₂＋y₁·y₂＝＋＝0，解得m＝3.
代入方程①检验得Δ＞0成立，∴m＝3.