Question

若tan

A

2

•tan 

B

2

+tan

B

2

•tan 

C

2

+tan 

A

2

•tan 

C

2

=1，则cos（A+B+C）=

-1

．

Answer 1

分析：将已知条件中的切化弦，逆用两角和的余弦整理可得cos（

A

2

+

B

2

+

C

2

）=0，再利用二倍角的余弦即可求得cos（A+B+C）的值．

解答：解：∵tan

A

2

•tan 

B

2

+tan

B

2

•tan

C

2

+tan

A

2

•tan

C

2

=1，
而tan

A

2

•tan 

B

2

+tan

B

2

•tan

C

2

=

sin B 2 sin A+C 2

cos A 2 cos B 2 cos C 2

，
1-tan

A

2

•tan

C

2

=

cos A 2 cos C 2 -sin A 2 sin C 2

cos A 2 cos C 2

=

cos B 2 cos A+C 2

cos A 2 cos B 2 cos C 2

，

∴sin

B

2

sin

A+C

2

=cos

B

2

cos

A+C

2

，即cos

B

2

cos

A+C

2

-sin

B

2

sin

A+C

2

=0，
∴cos（

A

2

+

B

2

+

C

2

）=0，
∴cos（A+B+C）=2cos2(

A

2

+

B

2

+

C

2

)-1=-1．
故答案为：-1．

点评：本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，切化弦，逆用两角和的余弦整理可得cos（

A

2

+

B

2

+

C

2

）=0是关键，也是难点，考查分析转化解决问题的能力，属于中档题．