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    如图，ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，

     

    （1）求证：MN//平面PAD；

    （2）求证：MN⊥AB；

    （3）若平面PDC与平面ABCD所成的二面角为θ，试确定θ的值，使得直线MN是异面直线AB与PC的公垂线.

    证明：（1）取PD中点E，连接NE、AE，则四边形MNEA是平行四边形，

    ∴MN∥AE.∴MN∥平面PAD.

    （2）连结AC、BD,两者交于O，连结OM、ON，因为ON∥PA，所以ON⊥平面ABCD.

    因为OM⊥AB，由三垂线定理,知MN⊥AB.

    （3）∵PA⊥面AC，AD是PD在面AC内的射影，CD⊥AD,

    ∴CD⊥PD.∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角θ.

    当θ=45°时，AE⊥PD，AE⊥CD，

    ∴AE⊥面PCD.

    ∵MN∥AE,∴MN⊥面PCD.

    ∵PC面PCD，∴MN⊥PC.

    又由（2）知MN⊥AB，∴MN是AB与PC的公垂线.

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