设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c(a>b),且acosB-bcosA=3c.
(1)求tanAcotB的值;
(2)求tan(A+B)的最小值,并求出最小值时角B的大小.
解:(1)利用正弦定理
=
=
化简已知的等式得:
sinAcosB-sinBcosA=3sinC,又sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B),
∴sinAcosB-sinBcosA=3sin(A+B)=3sinAcosB+3cosAsinB,
∴-2sinAcosB=4cosAsinB,
∴tanAcotB=-2;(6分)
(2)由(1)知tanA=-2tanB,
则
,
又a>b,故A为钝角、B为锐角,∴tanB>0,
∴
,
当且仅当
时,取“=”(12分)
分析:(1)利用正弦定理化简已知的等式,再由sinC=sin(A+B),利用两角和与差的正弦函数公式化简后,再等式两边同时除以cosAsinB,根据同角三角函数间的基本关系弦化切后即可求出tanAcotB的值;
(2)利用两角和与差的正切函数公式化简tan(A+B),把(1)得到的tanAcotB=-2变形,得到tanA=-2tanB,代入化简后的tan(A+B)式子中,得到关于tanB的关系式,由a大于b得到A大于B,进而得到A为钝角,B为锐角,可得tanB大于0,根据基本不等式即可求出tan(A+B)取得最小值时角B的度数.
点评:此题考查了正弦定理,诱导公式,两角和与差的正弦、正切函数公式,以及基本不等式的运用,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.