Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=2a_n+（-1）ⁿ，n≥1．
（1）写出数列{a_n}的前三项a₁，a₂，a₃；
（2）试判断数列{an+

2

3

(-1)n}是否为等比数列，如果是，求出{an+

2

3

(-1)n}的通项公式；如果不是，请说明理由；
（3）证明：对任意的整数m＞4，有

1

a4

+

1

a5

+…+

1

am

＜

7

8

．

Answer 1

分析：（1）是考查已知递推公式求前几项，属于基础题，需注意的是S₁=a₁，需要先求出a₁才能求出a₂，这是递推公式的特点．
（2）由已知化简得，a_n=2a_n-1+2（-1）^n-1，进而可变为an+

2

3

•(-1)n=2[a_n-1+

2

3

•(-1)n-1]，利用等比数列的定义可作出判断；
（3）的解答需要在代换后，适当的变形，利用不等式放缩法进行放缩．

解答：解：（1）当n=1时，有：S₁=a₁=2a₁+（-1）⇒a₁=1；
当n=2时，有：S₂=a₁+a₂=2a₂+（-1）²⇒a₂=0；
当n=3时，有：S₃=a₁+a₂+a₃=2a₃+（-1）³⇒a₃=2；
综上可知a₁=1，a₂=0，a₃=2；
（2）{an+

2

3

(-1)n}是等比数列，理由如下：
由已知得：a_n=S_n-S_n-1=2a_n+（-1）ⁿ-2a_n-1-（-1）^n-1
化简得：a_n=2a_n-1+2（-1）^n-1
上式可化为：an+

2

3

•(-1)n=2[a_n-1+

2

3

•(-1)n-1]
故数列{an+

2

3

(-1)n}是以a1+

2

3

•(-1)¹=

1

3

为首项，公比为2的等比数列．
（3）由（2）可知：an=

2

3

[2n-2-(-1)n]，
所以

1

a4

+

1

a5

+…+

1

am

=

3

2

[

1

22-1

+

1

23+1

+…+

1

2m-2-(-1)m

]
=

3

2

[

1

3

+

1

9

+

1

15

+

1

33

+

1

63

+…+

1

2m-2-(-1)m

]
=

1

2

[1+

1

3

+

1

5

+

1

11

+

1

21

+…]
＜

1

2

（1+

1

3

+

1

5

+

1

10

+

1

20

+…）
=

1

2

[

4

3

+

1 5 (1- 1 2m-5 )

1- 1 2

]=

1

2

[

4

3

+

2

5

-

2

5

•

1

2m-5

]
=

13

15

-

1

5

•(

1

2

)m-5＜

13

15

=

104

120

＜

105

120

=

7

8

．

点评：本题考查的递推数列较为典型，对数列有关公式的应用是高考考查的重点，要能熟练的应用．（3）中不等式证明中的放缩是一个难点，需要有扎实的基本功及一定的运算能力，对运算放缩能力要求较高．