Question

已知a，b是实数，函数f(x)=x³+ax，g(x)=x²+bx，f′(x)和g′(x)分别是f(x)和g(x)的导函数，若f′(x)·g′(x)≥0在区间I上恒成立，则称f(x)和g(x)在区间上单调性一致，
(1)设a＞0，若f(x)和g(x)在区间[-1，+∞)上单调性一致，求b的取值范围；
(2)设a＜0且b≠0，若f(x)和g(x)在以a，b为端点的区间上单调性一致，求|a-b|的最大值．

Answer 1

解：f′(x)=3x²+a，g′(x)=2x+b，
(1)由题意知f′(x)g′(x)≥0在[-1，+∞)上恒成立．
因为a＞0，故3x²+a＞0，进而2x+b≥0，即b≥-2x在区间[-1，+∞)上恒成立，
所以b≥2，因此b的取值范围是[2，+∞)。
(2)令f′(x)=0，解得，
若b＞0，由a＜0得0∈(a，b)，
又因为f′(0)g′(0)=ab＜0，
所以函数f(x)和g(x)在(a，b)上不是单调性一致的，因此b≤0．
现设b≤0，当x∈(-∞，0)时，g′(x)＜0；
当x∈(-∞，)时，f′(x)＞0．
因此，当时，f′(x)g′(x)＜0．
故由题设得a≥ 且，从而，
于是，
因此，且当a=，b=0时等号成立．
又当，b=0时，f′(x)g′(x)=6x(x²-)，
从而当x∈时，f′(x)g′(x)＞0，
故函数f(x)和g(x)在上单调性一致，因此|a-b|的最大值为。