Question

设{a_n}是公差大于零的等差数列，已知a₁=2，a₃=a₂²-10．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设{b_n}是以函数y=4sin²（πx+

1

2

）-1的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列{a_n-b_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）若f（n）=

2

2n+a1

+

2

2n+a2

+…+

2

2n+an

（n∈N，且n≥2，求函数f（n）的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设{a_n}的公差为d，由

a1=2 a1+2d=(a1+d)2-10

可解得公差d，从而可求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用降幂公式可求得y=4sin²（πx+

1

2

）-1=-2cos（2πx+1）+1，从而可求其最小正周期，继而可得数列{b_n}的通项公式，利用分组求和法即可求得数列{a_n-b_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）依题意，可求得f（n）=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

，从而可得f（n+1）=

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n

+

1

2n+1

+

1

2n+2

，作差可判断函数y=f（n）的单调情况，从而可求函数f（n）的最小值．

解答：解：（Ⅰ）设{a_n}的公差为d，则

a1=2 a1+2d=(a1+d)2-10

，
解得d=2或d=-4（舍），
∴a_n=2+（n-1）×2=2n．
（Ⅱ）∵y=4sin²（πx+

1

2

）-1=4×

1-cos(2πx+1)

2

-1=-2cos（2πx+1）+1，
其最小正周期为T=

2π

2π

=1，故数列{b_n}的首项是1，又公比为3，
∴b_n=3^n-1，
∴a_n-b_n=2n-3^n-1，
∴S_n=（2-3⁰）+（4-3¹）+…+（2n-3^n-1）
=

(2+2n)n

2

-

1-3n

1-3

=n²+n+

1

2

-

1

2

•3ⁿ．
（Ⅲ）∵f（n）=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

，
∴f（n+1）=

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n

+

1

2n+1

+

1

2n+2

，
∴f（n+1）-f（n）=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

＞

1

2n+2

+

1

2n+2

-

1

n+1

=0，
∴f（n）单调递增，故f（n）的最小值是f（2）=

7

12

．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列的通项公式与分组求和，突出三角函数的周期性与函数单调性的考查，属于难题．