Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，

nan-an+1

an+1

=n，n∈N．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

2n

an

，数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）先化简

nan-an+1

an+1

=n为：

an+1

an

=

n

n+1

，利用累积法求出数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）求出b_n，利用错位相减法和等比数列的前n项和求出T_n．

解答： 解：（1）由

nan-an+1

an+1

=n得，na_n-a_n+1=na_n+1，
则

an+1

an

=

n

n+1

，当n≥2时，
所以

a2

a1

=

1

2

，

a3

a2

=

2

3

，

a4

a3

=

3

4

，…，

an

an-1

=

n-1

n

，
以上（n-1）个式子相乘得，

an

a1

=

1

n

，
又a₁=1，则an=

1

n

；
（2）由（1）得，b_n=

2n

an

=n•2ⁿ，
则T_n=2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，①
2T_n=2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，②，
①-②得，-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
所以T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评：本题考查等比数列的前n项和公式，累积法求数列的通项公式，错位相减法求数列的前n项和，属于中档题．