【题目】如图所示的一块长方体木料中,已知AB=BC=4,AA1=1,设E为底面ABCD的中心,且 (0≤λ≤
),则该长方体中经过点A1、E、F的截面面积的最小值为
【答案】
【解析】解:设截面为A1FMN,显然A1FMN为平行四边形,过A点作AG⊥MF与G,则MG⊥A1G,作MK⊥AD与K,
根据题意AF=4λ,则CM=DK=4λ,KF=4﹣8λ,MF= ,
易知Rt△MKF∽Rt△AGF,∴ ,∴AG=
,
∴A1G2=AG2+AA12= +1,
∴S截面2=MF2×A1G2=MF2×( +1)=162λ2+42+(4﹣8λ)2
=32(10λ2﹣2λ+1)=320(λ﹣ )2+
(0≤λ≤
),
∴当λ= 时,S截面2=取得最小值
,此时S截面为
.
所以答案是: .
【考点精析】通过灵活运用棱柱的结构特征,掌握两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形即可以解答此题.
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【题目】设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( )
A.若l⊥m,mα,则l⊥α
B.若l⊥α,l∥m,则m⊥α
C.若l∥α,mα,则l∥m
D.若l∥α,m∥α,则l∥m
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【题目】已知是双曲线
的左右焦点,以
为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点
,与双曲线交于点
,且
均在第一象限,当直线
时,双曲线的离心率为
,若函数
,则
()
A. 1 B. C. 2 D.
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【题目】如图所示,扇形,圆心角
的大小等于
,半径为2,在半径
上有一动点
,过点
作平行于
的直线交弧
于点
.
(1)若是半径
的中点,求线段
的大小;
(2)设,求
面积的最大值及此时
的值.
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【题目】定义在上的函数
,若
,有
,则称函数
为定义在
上的非严格单增函数;若
,有
,则称函数
为定义在
上的非严格单减函数.
.
(1)若函数为定义在
上的非严格单增函数,求实数
的取值范围.
(2)若函数为定义在
上的非严格单减函数,试解不等式
.
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【题目】已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.
(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处有公共切线,求a,b的值;
(2)当a=3,b=﹣9时,函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为28,求k的取值范围.
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【题目】某特色餐馆开通了美团外卖服务,在一周内的某特色菜外卖份数(份)与收入
(元)之间有如下的对应数据:
外卖份数 | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
收入 | 30 | 40 | 60 | 50 | 70 |
(1)画出散点图;
(2)求回归直线方程;
(3)据此估计外卖份数为12份时,收入为多少元.
注:①参考公式:线性回归方程系数公式,
;
②参考数据: ,
,
.
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【题目】已知命题P:x1 , x2是方程x2﹣mx﹣1=0的两个实根,且不等式a2+4a﹣3≤|x1﹣x2|对任意m∈R恒成立;命题q:不等式ax2+2x﹣1>0有解,若命题p∨q为真,p∧q为假,求实数a的取值范围.
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【题目】某公司为了准确地把握市场,做好产品生产计划,对过去四年的数据进行整理得到了第年与年销量
(单位:万件)之间的关系如表:
1 | 2 | 3 | 4 | |
12 | 28 | 42 | 56 |
(Ⅰ)在图中画出表中数据的散点图;
(Ⅱ)根据(Ⅰ)中的散点图拟合与
的回归模型,并用相关系数甲乙说明;
(Ⅲ)建立关于
的回归方程,预测第5年的销售量约为多少?.
附注:参考数据: ,
,
.
参考公式:相关系数,
回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
,
.
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