Question

已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆，离心率，且经过抛物线的焦点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过点的直线（斜率不等于零）与椭圆交于不同的两点（在
之间），与面积之比为，求的取值范围．

Answer 1

解：（1）设椭圆的方程为，则①，
∵抛物线的焦点为（0， 1）， ….2分
∴ ②
由①②解得.   ……4分
∴椭圆的标准方程为.   ……5分
(2)如图，由题意知的斜率存在且不为零，

设方程为 ③，
将③代入，整理，得
，由得……7分
设、，则 ④
令， 则，……9分
由此可得，，且.由④知 ，.
∴ , 即……12分
∵，∴ ，解得
又∵， ∴，……13分
∴OBE与OBF面积之比的取值范围是（， 1）. ……14分

略