Question

一个口袋中装有n个红球（n≥5且n∈N）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．
（Ⅰ）试用n表示一次摸奖中奖的概率p；
（Ⅱ）若n=5，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；
（Ⅲ） 记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P．当n取多少时，P最大？

Answer 1

分析：（Ⅰ）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是一次摸奖从n+5个球中任选两个，满足条件的事件是两球不同色有C_n¹C₅¹种，根据等可能事件的概率得到结果．
（Ⅱ）本题是一个等可能事件的概率，若n=5，一次摸奖中奖的概率p=

5

9

，三次摸奖是独立重复试验，然后利用n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式进行求解即可；
（III）设每次摸奖中奖的概率为p，则三次摸奖（每次摸奖后放回），恰有一次中奖的概率为P为P=P₃（1）=C₃¹•p•（1-p）²=3p³-6p²+3p，当p=

1

3

时，P取得最大值．得到n的值．

解答：解：（Ⅰ）一次摸奖从n+5个球中任选两个，有C_n+5²种，它们等可能，其中两球不同色有C_n¹C₅¹种，一次摸奖中奖的概率p=

10n

(n+5)(n+4)

．
（Ⅱ）若n=5，一次摸奖中奖的概率p=

5

9

，三次摸奖是独立重复试验，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率是P3(1)=

C

1 3

•p•(1-p)2=

80

243

．
（Ⅲ）设每次摸奖中奖的概率为p，则三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P=P₃（1）=C₃¹•p•（1-p）²=3p³-6p²+3p，0＜p＜1，P'=9p²-12p+3=3（p-1）（3p-1），知在(0，

1

3

)上P为增函数，在(

1

3

，1)上P为减函数，当p=

1

3

时P取得最大值．又p=

10n

(n+5)(n+4)

=

1

3

，解得n=20．
答：当n=20时，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率最大．

点评：本题是一个在等可能性事件基础上的独立重复试验问题，体现了不同概型的综合．第Ⅲ小题中的函数是三次函数，运用了导数求三次函数的最值．如果学生直接用

10n

(n+5)(n+4)

代替p，函数将比较烦琐，这时需要运用换元的方法，将

10n

(n+5)(n+4)

看成一个整体，再求最值．